傅里叶级数是什么

1. 傅里叶级数是什么

说白了就是按定义来，求积分



 不明白可追问

2. 傅里叶级数

傅里叶级数，忘得差不多了，好像记得端点π满足f(π)=[lim(x->π-)f(x)+lim(x->-π+)f(x)]/2, 
对于奇函数，lim(x->π-)f(x)+lim(x->-π+)f(x)=0。 所以端点处的函数值，是人为的定义的，
保证在这一点函数展开正确。

原函数在这一点间断，那么展成傅里叶级数，在这一点也间断。

从别处偷来的一段话，在间断点，Fourier级数会突变。说白了就是:在函数间断处Fourier级数也间断，但Fourier间断处值始终为1/2(展开式左右极限和)，而函数间断处值是人为定义的，你想取多少就取多少。如果恰巧取1/2(展开式左右极限和)，那么Fourier级数在这点就收敛，否则反之

3. 傅里叶级数

　　求 Fourier 级数是格式的写法：函数
　　f(x) = π-x， 0<=x<=2π，
的 Fourier 系数
　　a(0) = (1/π)∫[0, 2π]f(x)dx = (1/π)∫[0, 2π](π-x)dx
　　　　= ……，
　　a(n) = (1/π)∫[0, 2π]f(x)cos(nx)dx
　　　　= (1/π)∫[0, 2π](π-x)cos(nx)dx
　　　　= ……，n = 1, 2, …
　　b(n) = (1/π)∫[0, 2π]f(x)sin(nx)dx
　　　　= (1/π)∫[0, 2π](π-x)sin(nx)dx
　　　　= ……，n = 1, 2, …
这样，函数 f(x) 展开成 Fourier 级数
　　f(x) ~ a(0)/2 + ∑{n>=1}a(n)cos(nx) + b(n)sin(nx) = ……，0<x<2π
且该级数的和函数（先做图，可以看到延拓后的函数在除 x=0 和 x=2π 外的点是处处连续的）为
　　S(x) = [f(x-0)+f(x+0)]/2
              = π-x，0<x<2π，
              = 0，   x=0, 2π。

（整个过程就这些，计算就留给你了）

4. 傅里叶级数

它的傅里叶展开就是它自己，原因是COS函数的正交性。
如果你想深刻理解傅里叶变换的本质的话可以看下面一段文字~
这样说吧：
首先我们知道线性代数里，一个N维的向量（F）可以由N个完备的正交归一基底叠加而成，叠加系数怎么求呢？就是直接用这个向量（f）点乘各基底（就是用点乘来求它在各基底的分量）。
好现在你把一个函数看成一个无限维的向量，每个函数值对应的就是一维，而在这个无限维的空间里，点乘被定义为这两个函数相乘后再积分（就跟高中里a·b=axbx+ayby一个道理）。
而sin nx 和 cos nx就是这个空间里的一组正交基底！！按这种点乘的定义他们相互正交！！（现在你明白为什么他们要积分出来个0了吧）
所以这就是傅里叶变换的精髓了，任何一个函数都能由这些相互正交的基底叠加出来，而叠加系数怎么求呢？就是前面说的点乘各基底（所以这就是为什么求叠加系数是用被展开函数去和这些sin cos积分）
最后注意一个问题就是基底要归一，归一就是基底的模长要等于1，模长就是自己点乘自己

5. 什么是傅里叶级数？

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数)一种特殊的三角级数。 


简单来说就是用正弦函数和余弦函数构成的特殊三角函数

6. 傅里叶级数

你好：
傅里叶级数是这样定义的：
法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）
后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。

7. 傅里叶级数

线性时不变系统对复指数信号的响应也是同一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化
  
 系统对信号输出响应是一个常数乘以输入，则该输入信号为系统的特征函数，该常数为特征值（和线代概念类似）
  
 复指数信号就是线性时不变系统的特征函数
  
 输入为：
  
   
  
 输出为：
  
   
  
 
  
  
 成谐波关系的复指数信号集
  
   
  
 一个连续时间周期信号可以由成谐波关系的复指数信号的加权和表示
  
 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
  
   
  
 不同频率的系数为：
  
   
  
   为直流分量或常数分量
  
 连续时间周期信号的傅里叶级数近似
  
   
  
 当  时，  
  
 
  
  
 1. 在任何周期内，  必须是绝对可积
  
 2. 在任意有限区间内，  具有有限个起伏变化，也就是说，在单个周期内，最大值和最小值的数目是有限的。
  
 3. 在有限区间内，只有有限个不连续点。
  
 满足狄里赫利条件的周期信号，在不连续点傅里叶级数收敛于不连续点左右值的平均值吗，在其他连续点收敛于原信号点。
  
 在不连续点附近的连续位置，当N增加时，傅里叶级数和原信号越来越接近，但是对任意N值，起伏的峰值大小保持不变
  
 
  
  
   
  
   
  
 因为离散时间复指数信号，频率加  和本身相同，因此实际上只需要N个谐波。

8. 傅里叶级数

设分段函数为f(x),那么S(x)与f(x)的关系如下：在f(x)的连续点处的值S(x)与f(x)一样, 在f(x)的间断点处S(x)的值等于 F(x)在此点处的左右极限的算术平均值